Matemática básica para administradores

entonces habría más desempleo de los obreros menos calificados.
Sin embargo, si la población tuviera mejores ingresos, entonces consumiría más bienes».

a. Identifique las variables y formalice mediante un lenguaje simbólico.

b. Suponga que el salario mínimo no aumenta, la población no incrementa sus ingresos y que las demás proposiciones simples son verdaderas. ¿Cuál es el valor de verdad de la proposición compuesta?

c. Si la proposición compuesta es verdadera, y el primer antecedente y el segundo consecuente son falsos, halle los posibles valores de verdad de las demás proposiciones simples.

falsa

b. [(s ∧ p] ∨ [(p → q) ∨ ∼ r] es falsa

5. ¿Se puede afirmar que la proposición [(∼ p ∨ ∼ q) ∧p] → ∼q siempre es verdadera?

6. Considere la siguiente proposición:
«Si el salario mínimo aumenta,

. Alemania y China son potencias económicas.

e. Estados Unidos y México son países fronterizos.

f. Es falso que Arequipa sea un país y Cuzco su capital.

g. La familia promueve el bienestar, aunque también la prosperidad de todos sus miembros.

h. Seré un profesional de éxito porque estudio en esta universidad.

i. Si la carne de avestruz es cara, su crianza no tiene razón de ser.

j. El que tengamos un amplio intercambio comercial con Europa conlleva a que nos afecte su crisis financiera.

k. En la medida que estudies, triunfarás.

l. Es falso que si la importación afecta la inversión interna, el crecimiento poblacional afectará al PBI.

m. La jalea real es el alimento especial de las abejas reinas o solo de las obreras.

2. Suponga que p y r son falsas y q es verdadera. Halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a. (∼ p ∧ ∼ q) → (p ∧ ∼ r)

b. (p → ∼ q) → (∼ p ∧ ∼ r)

c. (p → ∼ q) ∨ (p → r)

3. Si (∼ p ∧ ∼ q) es verdadera, halle el valor de verdad de [(p ∨ ∼ q) → (∼ p ∨ q)]

4. Halle el valor de verdad de las proposiciones p, q, r y s, sabiendo que:

a. [r ∨ p) ∧ ∼ q] → p es falsa

b. [(s ∧ p] ∨ [(p → q) ∨ ∼ r] es falsa

5. ¿Se puede afirmar que la proposición [(∼ p ∨ ∼ q) ∧p] → ∼q siempre es verdadera?

6. Considere la siguiente proposición:

crisis económica continúa, entonces habrá más pobreza».

a. Formalice la proposición compuesta.

b. Analice el valor de verdad de la proposición, asumiendo que todas las proposiciones simples son verdaderas.

c. ¿Cuál es el valor de verdad de la proposición si la demanda del bien no aumenta y no hay más pobreza?

d. ¿Cuál es el valor de verdad de la proposición si la crisis no continúa ni el precio del bien aumenta?

Ejercicios 1.1

1. Determine qué enunciados son proposiciones. Luego, clasifíquelas como simples o compuestas y formalice.

a. El pisco es peruano.

b. Prohibido fumar en lugares públicos como este.

c. 3 + 5 > 7

Luego, (∼ p ∨ q) es V, por lo tanto, ∼p es V y q es V. Así p es F.

• Como (p ∨ r) es V, donde p es F, se tiene que r es V.

• En conclusión, p es F, q es V y r es V.

Ejemplo 9

Halle el valor de verdad de las proposiciones p, q y r, si se sabe que la siguiente proposición compuesta es verdadera:

p ∧ ∼ [(r ↔ ∼ p) ∨ ∼ q]

Ejemplo 10

Halle el valor de verdad de las proposiciones p, q y r, si se sabe que la siguiente proposición es falsa:

(∼ p ∨ q) ∨ (∼ r → ∼ p)

Ejemplo 11

Considere la siguiente proposición:

«Si la demanda de un bien aumenta, entonces el precio del bien aumentará; salvo que, si l

Como p es V y ∼ q es F, entonces p → ∼ q) es F. Ahora, ∼p es F y r es F, entonces (∼ p ∨ r) es F.

Por lo tanto, el bicondicional de dos proposiciones falsas (p → ∼ q) y (∼ p ∨ r) resulta V.

Ejemplo 7

Dadas las proposiciones p, q y r falsas, determine el valor de verdad de la siguiente proposición compuesta:

(∼p → ∼q) ∆ (∼r → q)

Ejemplo 8

Para hallar el valor de verdad de las proposiciones p, q y r, si se sabe que es falsa la siguiente proposición compuesta:

(p ∨ r) →∼(∼ p ∧ q)

debemos identificar el conectivo principal, que es el condicional →. Por lo tanto:

• Si la proposición (p ∨ r) → ∼(∼ p ∧ q) es F, entonces (p ∨ r) es V y ∼(∼p ∧ q) es F.

h. Cuando la demanda aumenta y la oferta disminuye, el precio de equilibrio baja.

i. No es cierto que suba el precio del pan porque suba el precio de la gasolina, salvo que el gobierno no pueda controlar la inflación.

Valores de verdad de las proposiciones
Sobre la base de los valores de verdad de las proposiciones simples, se determinan los valores de verdad de las proposiciones compuestas.

Ejemplo 6

Dadas las proposiciones p, q verdaderas y r falsa, para determinar el valor de verdad de la proposición compuesta (p → ∼ q) ↔ (∼p ∨ r) procedemos el análisis de la siguiente manera:

p: La utilidad marginal es positiva.

q: La utilidad marginal disminuye conforme aumenta el consumo.

Formalización: p ∧ q

b. Cuando aumenta el precio de un bien, disminuye la cantidad demandada del mismo.

c. La utilidad total aumenta a menos que aumente el costo fijo.

d. El costo promedio disminuye salvo que el nivel de producción no aumente.

e. Subió el precio de las verduras porque subió la gasolina.

f. No es cierto que hoy es martes y hay reunión de coordinación de curso.

g. Si voy a la clase o solamente a la biblioteca, implica que no iré al cine.

Ejemplo 5

Formalice las siguientes proposiciones:

a. La utilidad marginal es positiva, pero disminuye conforme aumenta el consumo.

Simbolizando cada proposición simple se tiene:

p entonces q
Si p, q
p implica q
p por lo tanto q
p es suficiente para q
q si p
q porque p
q es necesaria para p

p → q

Bicondicional

p si y solo si q
p siempre y cuando q
p equivale a q

p ↔ q